弗朗西斯·苏是美国数学协会（MAA）有史以来的首位非白人会长，也是《数学的力量》一书的作者。他不仅是数学家，也是数学教诲家，2013年弗朗西斯得到了美国数学协会颁发的“2013年海默数学精彩传授教化奖”。
数学本是主要的根本学科，是一种被广泛运用的工具和能力，但在大众语境中却成了衡量智商的硬性指标。数学家很多被塑造成孤僻的天才。2017年，弗朗西斯·苏卸任美国数学协会会永劫揭橥演讲，后来集结成《数学的力量》一书。他用诚挚的措辞强调数学中的人文情怀，提醒人们数学中蕴含的美好品质。很多人学习数学的体验是自卑、被排斥，实在真正的数学研究非常重视协作和互换。数学造诣也不是单一维度的，数学的乐趣在于过程而非造诣。他并不讳言数学领域的歧视与不公，但这些是须要改变的，无关数学本身。
本文摘编自《数学的力量》第12章，小标题为编者所加，注释见原书。
《数学的力量：让我们成为更好的人》，[美]弗朗西斯·苏 著，沈吉儿、韩潇潇 译，中信出版集团，2022年6月。
数学中真正能给人带来知足感的只有两件事，一是向他人学习，二是与他人分享。每个人能够完备理解的东西实在极其有限，大多数事物我们只是知其皮毛，未曾 穷究。
——威廉·瑟斯顿（William Thurston）
研习数学不是只能孤军奋战
里卡多·古铁雷斯（Ricardo Gutierrez）是一位出生于工人阶级社区的纽约人，父母都是移民。他的父亲没能读完高中，母亲也在八年级的时候辍学了。2017年，他在某篇宣布中读到了我那场以“如何在数学之路上发达发展”为主题的演讲的笔墨记录，随后给我写了一封信。
信中提到，他在很小的时候就表现出了数学方面的天赋，可是一贯没有人能给予他精确的指引。于是他在大学期间转变了兴趣，并在过去的19年当中把韶光和精力全部奉献在了音频工程上，成了一位相称成功的音频工程师——虽然算不上一份真正的技能性事情，不过正如他所说的那样：“音乐便是我事情中的统统，我会费尽心机让它们变得更加动听，更加悦耳。”他深爱自己的奇迹——事实上，他参与的某个项目曾经得到过格莱美奖的提名——可他还是以为生活中少了点什么。
我便是觉得自己还渴望着某些别的东西，没有这些东西，我的人生就算不上圆满。我想要学习更多知识，想要体验一下数 学、打算机这类学科的思维逻辑。或许是由于逻辑思考那种层层深入的觉得在吸引着我，让我感想熏染到了思考的乐趣；或许是由于我的本职事情再也无法知足我的求知欲，而数学和编程刚好可以补充我的胃口……或许，更准确地说，我对目前的事情已经因为闇练，闇练到我觉得每天都像是在“日常打卡”，毫无新意。
之后他迈出了年夜胆的一步，以40岁的年事重返校园，参加了一项针对“非传统学生”开设的传授教化项目。他说：
这种严苛的学术环境给我带来了弗成思议的压力和艰辛，乃至让我以为有些难以接管——尤其是对一个已经良久没有打仗过高强度学习生活的人来说——可有时候，我以为让我悲痛欲绝的并不是这些压力，而是在数学课与打算机课上，我从小就有的那种“我根本不属于这里”的觉得。我之以是会有这种觉得，可能和我童年期间的糟糕经历有很大的关系。当时的邻里环境和生活条件是如此严厉，以至我每冒出一个梦想，都会急速被无情的现实碾碎。没有任何一个人站出来指引我，帮我纠正那些已经根深蒂固的缺点不雅观念。“我根本不属于这里”这句话在我脑海中不断地回响，逐渐扭曲了我的人生方向，成为我生命中挥之不去的阴影。
“我不属于这里”这种觉得可能会给人们带来极大的侵害，以是集体对个人来说相称主要，由于它能让我们产生归属感。帕克·帕尔默说过：“所谓传授教化，指的便是为大家创造一个集体学习的环境，让大家在实践中感想熏染集体的力量。”果真如此的话，当别人因自身所限而无法看清原形时，我们就有责任主动站出来为他们戳破谎话。我们可以帮助他们找回归属感。
任何一个人都不可能在分开集体的情形下康健发展（集体指的便是那些可以体会到我们的痛楚、感想熏染到我们的喜悦、看到我们心中的希望、理解我们内心恐怖的人）。集体可以让我们明白，奋斗是一种正常征象，并意识到“我不是一个人在奋斗”。
集体是每个人内心深处都存在的一种渴求。无论是在休闲娱乐、教诲学习方面，还是在职业生涯、家庭生活当中，集体都扮演着“引路人”的角色，可以帮助我们迈入数学的大门，勾引我们在数学之路上不断提高。
记录片《数学的故事》画面。
本书中曾多次提到“数学团体”这一观点，现在大家该当明白，只假如因共同的数学经历、数学知识而聚拢起来的一群人，都可以算作数学团体。当你和家人分享数学段子、向家人展现自己对数学的热爱、陪家人制作一些几何小物件、与家人一起阅读和数学干系的文章，乃至是同家人一起下厨做饭（依照食谱上给出的解释添加食材，和家人磋商调料的用量）时，你实际上就已经在家里建立起了一个数学团体。当你走进数学教室，或是参加一场策略博弈游戏时，你实际上就已经进入了一个数学团体。
对大多数人来说，“集体”这个词和数学没什么关联。正好相反，大家都以为数学家的范例形象，就该当是“一个人为了某个问题独自潜心研究几十年”。没错，近些年有几个相称著名的数学难题得到理解决，这些事例的确符合大家的这种不雅观念。
例如1993年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了费马大定理的干系证明（当时的证明存有一些毛病），闭幕了这个350多年里一贯悬而未决的难题。实在该定理描述起来非常大略：n > 2时，方程 xn + yn = zn不存在整数解。可便是这么大略的一句话，安德鲁·怀尔斯独自一人花了7年的韶光，费了好大一番心血才找到证明方法。
又例如2003年，格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）给出了庞加莱猜想的证明，为拓扑学领域这个百年难题画上了圆满的句号。大体上我们可以这样理解庞加莱猜想：每一个没有洞的封闭三维物体，在拓扑学上都等价于一个三维球面。在给出证明之前，没有人知道佩雷尔曼正在研究著名的庞加莱猜想。
再例如2013年，当张益唐成功证明了素数间的有界间隔（对孪生素数猜想来说这是一项重大打破）时，该领域没有任何一个人听说过张益唐这个名字。以上这些例子给大家造成了一种迷信，认为数学家就该当独自一人默默奋斗。可这些例子正好是由于其独特性才成为新闻，它们实际上并不具有代表性。
实在数学当中充满了互助，人们会自发地因各种数学项目而走到一起——一起学习、一起阅读、一起游戏、一起研究。正如威廉·瑟斯顿所言，一边学习一边分享才是数学的真谛（这句话是为了回应那些常常担心自己难以做出任何原创性事情的人）。正因如此，我们才会花韶光和他人一起享受数学的乐趣。
从专业的角度来看，同过去比较，数学的协作性正在逐渐提升。2002年的一项研究表明，参与互助性研究项目的数学家的比例在20世纪40年代为28%，到了90年代，这一比例提升到了81%。
2009 年，数学家蒂莫西-高尔斯乃至在互联网上呼吁大家共同协作，一起找出黑尔斯-朱厄特定理（Hales-Jewett theorem）的证明方法，并因此而有名天下。（大体上来说，我们可以这样理解该定理：对更高维度的井字棋游戏而言，无论参与游戏的玩家有多少，终极总会涌现一个赢家。）
此外，越来越多的数学西席开始鼓励学生采取主动式学习方法，利用教室韶光让学生们参与互动，共同协作。随着社交媒体的兴起，数学西席们也在考试测验更多新的教诲办法，设立更多兴趣小组，以便更好地传播思想，分享不雅观点。团队协作是当今数学探索者们彼此互动的核心办法，也是商业、工业、政府等领域的人才必备的技能。
集体的主要性不言而喻，它可以把更多的人聚到一起，让大家共同探索数学，在互助的环境中培养各种精良品质。一个成功的数学项目，总是会把重点放在团队之上，帮助参与者聚在一起，让每一个人，无论是孩童还是西席，抑或是研究学者，都能从团队中受益。
然而，有些学习障碍会在集体环境中被进一步放大，以是建立数学团队不仅仅意味着要把数学爱好者聚在一起，还必须能够做到及时创造问题，为大家扫清障碍。
数学造诣并不是单一维度的
数学团体常常会过于关注某个人所取得的造诣——常日是一种狭义的造诣。在心里评估哪个人“更善于数学”时，我们常常会根据某项单一“能力”来排名，可是这样只会让阶层的划分更为严 重。我们常常会向他人通报这样一种思想：要想在数学领域取获胜利，只有一种办法，比如强制孩子们快速解题，或者在高中时就让孩子提前学习微积分知识，或者告诫数学事情者如果不搞科研他就算不上是一个“真正的数学家”。
记录片《被数学选中的人》画面。
实在成功的办法多种多样，数学造诣并不是一维的，我们必须改正自己的缺点不雅观念。我们总是把数学看作插在地上的一根杆子，认为葡萄藤只有一个成长方向，只能不断沿着杆子向上爬。可实际上数学更像是一个藤架：作为葡萄藤，你可以在藤架和地面相连的地方随意找一处作为出发点，然后同时朝着多个方向攀爬。
因此，那些希望参与到数学团体中的人，必须想办法改变自己的一维视角。无论是在家里还是在教室上，我们都应该对他人在数学学习过程中培养起来的精良品质表示讴歌，提醒大家这些品质也是数学不可分割的一部分。
始终如一、保持好奇心、长于总结归纳、方向于美的事物、对深入探究的渴求，以及我在各个章节中所提到过的那些品质，都是你在数学当中有所发展、有所收成的表示。在高中和大学，我们应该供应更多勾引手段，帮助学生迈进数学的大门，而不是强制所有人都去学习微积分。我们应该把数学俱乐部变成一个以快乐为本的地方，而不是让它成为精英们展现自我的场所。
在专业层面，为了提高大家对数学的理解，数学西席和科研职员想出了各种各样的办法，我们应该对这种多样性予以重视。此外，我们应该树立起多种多样的数学榜样，让大家明白数学也可以是一项好玩有趣的奇迹，而非只能独自一人专一苦干。
乐趣和造诣并不总是画等号
数学团体内部的等级有时候会相称森严，只管这些人可能原来并不肯望变成这个样子。在我参加的那个远足俱乐部里，大家都是由于对远足的热爱才聚到一起。每次出发前，我们都会根据个人能力分身分歧小组，每个小组的行进速率有快有慢，各不相同。我大大方方地见告大家，我的速率很慢，然后就被分进了新手组，可我并不因此而感到羞愧。由于我知道，远足的乐趣——沿途的风景、建立的友情、沉静的思考空间——实在跟远足能力没什么关系。钢琴音乐会和篮球比赛等活动也是如此，不雅观看也会带来乐趣，这种乐趣并不会受到你在这项活动上的个人能力的影响。
数学有些不太一样，数学的快乐每每须要具备一定的能力。比如我去上数学课，除非我能听懂老师在讲什么，否则我绝对体会不到数学的乐趣。其余，向别人讲述数学知识的乐趣，也不仅仅在于你对干系定理的知晓，还在于你能够给出条理清晰的证明。很可惜的是，证明过程在短韶光内很难被听众消化、接管，而且常日情形下也没几个人会主动提出哀求，让讲述者想办法调度一下讲述办法，好让大家都能听懂。虽然我现在对付某些话题也是毫无观点，完备听不懂别人在讲什么，可是我早就习气了这种挫败感，并且我也很清楚这是一种正常征象，可是对初学者来说，这种挫败感还是很随意马虎让人对数学望而生畏。
同样，在教室上，在这种集体学习的环境中，传授数学技巧本来便是传授教化的核心内容，以是很多人会在学习的时候面临很多寻衅。倘若小组互助安排得不合理，那么在面对思维敏捷的学生时，那些思考韶光较长的学生就会产生一种挫败感。
虽然有时候我们必须重视个人能力，可是如果大家只关注个人能力，就会导致人们盲目地崇拜那些因个人能力突出而广受赞誉的人，从而在数学团体内部造成一种不必要的阶层划分。西蒙娜·韦伊曾经绝望地表示：“我将因此被彻底排斥在那个卓越超然的王国之外，那里只有真正的伟人才能进入。这种想法令人痛楚不堪。”很多人正遭受着和她类似的痛楚，仅我碰着的就有不少。
因此，那些对数学团体抱有期待的人，必须养成激情亲切好客的习气，为初来乍到的朋友供应良好的传授教化和勾引，时时时地给予他们一些鼓励和支持。作为一名激情亲切好客的数学探索者，我们还要放下架子，民平易近，让新人相信无论自己之前的水平是高是低，这里都会为他们洞开大门。我们还必须主动向新人展现数学中的“秘密菜单”，让他们看到那些较为冷门的内容——当然包括那些即便是履历丰富的老手也难以在短韶光之内弄明白的知识——耐心地勾引他们节制各种数学技能，比如“如何才能把教材上的内容放到自己的知识框架当中”。
此外，我们还要学会承认他们的精良表现，见告大家他们完备有能力学好数学。数学团体中那些德高望重的人也要记住，在如何规范迎新制度这一问题上，他们有着不可推脱的任务。另一方面，要想成为一名激情亲切好客的数学探索者，我们还要努力让自己化身为一名精良的数学西席，让初学者也能体会到数学的妙趣所在。至于如何才能供应良好的教诲，这方面的案例实在是太多了，我们应该把它们好好利用起来，在愉快的互换和沟通中引领大家进入这个卓然轶群的王国。
记录片《被数学选中的人》画面。
数学团体中的那些领军人物必须发挥自己的浸染，根据学生的详细表现、性情差异、能力高低，随时调度团体的管理策略。履历丰富的西席十分清楚这一点，他们知道为了让彼此的相处办法更加规范，有必要建立起相应准则；也知道如果集体当中的某个人独断专行，就会让团队变得效率低下，如果不能让集体当中的每一个人都能够在团队事情中找到自己的意义，就会给大家带来严重的负面感情。
因此，为了让参与者有所收成，数学教诲事情者非常重视团队事情的设计与安排，他们会为团队事情设立多个主要角色，为每位成员支配一些量身定制的任务，确保大家只有在配合尽力的情形下才能成功完成事情。一位尽职尽责的西席，一定知道如何才能鼓励学生积极互换，分享想法，如何才能以恰当的办法降落团队活动给参与者带来社交风险的概率。
要想建立起一个数学团体，就得想办法提高大家的协作能力，只管即便肃清个中的阶层划分。只有让成员彼此原谅，让每个人都能从“百家争鸣”的环境中受益，才能算是一次成功的互助。我们要记住，互助不仅仅意味着大略的分工。真正的数学互助具有高度的协作性，通过大量的预备事情，确保每一个参与者都能够在相互促进的环境中有所发展，能够在良性的竞争氛围中对知识产生更加深刻的理解。
数学团体中的隐性歧视
和其他群体一样，数学团体中也随意马虎涌现各种隐性歧视：我们每个人都或多或少地存在一些无意识的刻板印象。我们会先入为主地对他人做出错误的假设，从而影响他人表现自我的机会，让别人难以听到他们的声音。在校园中，我们必须时候提醒自己：哪些人还没有发过言？哪些人的努力和付出常常被人忽略？在专业领域中，我们也必须清楚，偏见有时会导致我们做出一些对集体不利的决策和行为。
例如，当女性和男性共同揭橥论文时，很少有人能够认可女性在个中的贡献——大家会以为这些事情都是男性完成的。2016年有人在一个和经济学类似的研究领域中做了一次统计，结果表明，虽然女性揭橥的论文和男性一样多，但是在评比终生教职的时候，女性被谢绝的概率却高达男性的两倍，除非她们一贯都是单独揭橥论文（在这种情形下，被谢绝的概率在男女之间的确没什么差异）。
因此，那些想要建立起一个数学团体的人必须常常自我反省，看看自己是不是在无意中表现出了某种偏见。此外，我们还必须在团体中设立恰当的规章制度，并做到身体力行。只有这样，我们才能只管即便减少偏见征象的发生。
有很多数学团体因缺少必要的归属感而让各位成员饱受困扰。详细的表现形式多种多样，例如：我不想让别人创造我知识水平有限（潜在的意思是：我觉得我不配和大家一起待在这里）；其他人跟我都不一样（潜在的意思是：没人能够真正理解我的处境）；我永久都没办法让自己变得足够精良（潜在的意思是：我的造诣永久也无法媲美我所崇拜的那些人）。由于很多团体内部的等级相称森严，这种觉得可能会变得越来越强烈。
作为一名已经年过40岁的大学生，里卡多很难避开类似的经历，上面这些遭遇他或多或少都碰着过。无论从种族的角度来看，还是从社会阶层的角度来看，里卡多都处于一个比较弱势的地位。况且他已经良久没有打仗过校园生活，很难重新适应这种高强度的学习环境，过去发生的各类也在不断蚕食着他的毅力与决心，以是他总是以为“我当初就不该重返校园”。
实在我们有很多人都会由于这样那样的缘故原由而产生类似的觉得，比如我自己就常常在数学团体中感到孤单，哪怕我如今已经在数学领域站稳了脚跟，这种觉得仍旧没有消逝。在职业生涯中期，我改换了自己的研究领域，来到了一个全新的科研机构，并花了一个学期的韶光跟大家搞好关系，试图融入这个群体，可惜末了奏效甚微，我还是常常觉得自己游离在集体之外。
由于我对这个新领域知之甚少，而且我之前那家研究所也有些分歧凡响——其他研究所都因此科研学术为重，彷佛只有我们以教书育人为重。大家对我都不太理解，也不怎么约请我参加集体活动，他们更喜好和自己熟习的人聚在一起。不过说实在的，如果他们当时能够明白我的感想熏染，我相信他们肯定也乐意对我伸出援手，帮我走出困境。以是我之前才会说，只有时常关心他人，才能真正地收受接管他人。
记录片《被数学选中的人》画面。
由此可见，对那些器重数学团体的人来说，除了保持激情亲切好客的心态，还必须多多关心他人。这意味着我们要精确看待他人，尤其是那些年轻人、那些初学者、那些被忽略的人，意味着我们必须放下他人的身份与背景，只从最纯粹的数学的角度来认知他人。哪怕你只是个初来乍到的新人，你也必须做到这一点。
之前被人忽略的时候我负责思考了一下，然后我溘然意识到，或许还有很多人正在经受着和我类似的遭遇，由于这个科研机构一样平常只供应短期互换项目，可以说我们每个人都是新人。不过话说回来，即便你是新人，你也可以主动关心一下身边那些同你一样感到人地两生的朋友，对他们表示欢迎。
无论你来自哪个数学团体，只要你处于领导地位，你就该当积极地培养自己的同理心，长于创造他人的困难，理解他人的处境。作为领导者，只有以身作则，主动分享自己过往的经历以及在学术道路上碰着的困难，才能起到言传身教的效果。作为西席，只有身先士卒，主动分享自己的“数学简历”——数学学习过程中的所见所闻所感，才能让学生们乐于模拟。
一个拥有同理心的领导者能够让他人得到抚慰，帮助他人战胜心中的挫败感。作为阿贝尔奖（被誉为数学界的诺贝尔奖）得主，卡伦·于伦贝克（Karen Uhlenbeck）说过：“为他人树立榜样可不是一件随意马虎的事……你要明白，你最主要的任务是让学生们意识到，成功的人不即是完美的人，他们也有很多毛病和弱点。”
营造一个康健的数学团体
在同他人谈论如何才能在数学领域发达发展时，我总是能够收成很多乐趣，比如大家常常会与我分享他们亲自经历过的各种深刻体验。
说到这里我就想起了数学家埃琳·麦克尼古拉斯（Erin McNicholas）教授跟我分享的一件趣事，当时她正由于一件和学术无关的事情感到痛楚万分，然后在机缘巧合之下，她与几逻辑学生和另一位教授一起经历了一段忘我的快乐光阴：
你们很难想象那时候我正遭受着若何的痛楚。焦虑、担忧、恐怖、愤怒等各种负面感情交织在一起，如潮水般席卷了我的全体大脑，我觉得自己立时就要崩溃了。……然而，一位有时碰到的男生给我带来了转机，当时他正在另一位教授的教室长进修实变函数。我当时正在和我的一个女学生磋商本周的实变函数作业，这位学生跟我说她在解题过程中创造了一个疏忽，可是我们俩剖析了半天，也没想通该如何化解。于是我就问那个男生，他有没有解出这道题。虽然他说他算出了答案，可我们仔细一看却创造，他的解题步骤和我的这位女学生一样，只是他没有留神到那个疏忽，我只好向他指出了问题所在。
就这样，短短20分钟之内，教室里一共聚齐了7个人，个中包括5名实变函数论的学生、另一位教授和我。大家各抒己见，共同磋商问题的办理方案。可是，就在问题即将得以办理的时 候，我们又碰着了另一个全新的难题。不过在配合尽力之下，我们终极把这个难题占领了。
那一瞬间，所有人的脸上都绽放出了胜利的喜悦，那位卖力在黑板上记录谈论过程的学生在飞速写完末了一笔之后，乃至跳了一小段舞以示庆祝。在他的传染下我们都笑了起来，全体教室到处都是大获全胜之后那种轻松欢畅的气氛。
她还说，正是在那一同欢笑的瞬间她才意识到，在和大家共同解题的这30分钟里，她彻底忘怀了自己的烦恼和忧闷。在这个自发形成的数学团体中，数学成了一个心灵的港湾，在这个港湾之中她可以尽情欢笑、尽情舞蹈，再也不用担心表面那些大风大浪，那些烦心的琐事。
从她的故事中我们可以看出，一个康健的数学团体能够给人带来多大的好处。那里没有任何阶层划分，每个人都思考着同一个问题，教授们也可以用实际行动见告大家他们也有很多不懂的东西，他们也有很多想要努力办理的难题，挫折是一种很正常的征象，某种程度上乃至还会让人有点愉快和激动。
所有人都是由于共同的兴趣才聚到了一起：即便学生们知道，这个问题对教授来说也不能轻易办理，自己做不出来也不会被扣分，可他们还是和教授们一样，想要尽己所能去探寻原形并找出答案。在群策群力的过程中，他们看到了同一缕希望的曙光；在大功告成的那一刻，他们品尝到了同一种胜利的滋味。在回顾这段经历时，埃琳发出了如下感慨：
虽说为了找出答案，我们每个人都奉献出了自己的汗水，可我还是忍不住想要夸赞一下我的那位学生，正是由于她最初创造理解题过程中的疏忽，才让我们有了现在的收成。另一方面，只管我创造了她这种严谨谨严的美好品质，可对大部分专业人士而言，这种品质很随意马虎被低估或忽略，由于他们每每更看重创造力和数学直觉。虽然她也拥有这些优点，但由于她为人谦逊，懂得人外有人、天外有天的道理，这些优点在集体环境中就不随意马虎被人察觉。
如果把数学中的寻衅比作一条必须穿过的河流，那么有些数学家会选择立即从岸边出发，在河流中的石块上跳来跳去，心中只想着下一步该怎么走；而另一些数学家则会选择在岸边不雅观望，然后探求穿越河流的办法，打算水流的速率和跌倒的概率，利用谷歌舆图在高下游两侧查找，看看是不是可以从桥上绕过去。看着那些勇往直前、在石块上跳来跳去的勇士，人们很随意马虎被他们的勇气所折服。可事实上，当这些人被困在河流中间进退两难之时，前来施救的每每是岸边那些勤奋严谨、运筹帷幄的人。
我认为无论是教授还是学生，都忽略了集体事情中那些仔细谨严、井井有条的部分，然而正是这部分事情让我们取得了终极的胜利。面对这一事实，我不禁感慨万分：两位拥有博士文凭的大学教授，再加上几位专业能力突出的高年级学生，居然都没看见地题过程中的那一点瑕疵，反而让一个默默无闻、自身能力常常得不到他人认可的学生创造了问题。
这便是一个真正欣欣向荣、发达发展的数学团体：各位成员因共同的探索方向和兴趣爱好聚到了一起，大家积极互换，取长补短，相互尊重彼此的劳动成果。在这个联络协作的过程中，每个人都会为团队取得的打破而欢呼雀跃，每一种精良品质都得到了最完美的诠释。
原文作者/弗朗西斯·苏（Francis Su）
摘编/荷花
编辑/王菡
导语校正/卢茜
